Über diesen Rechner
Wie misst man den durchschnittlichen Wert und die Volatilität einer Zufallsvariablen? Erwartungswert und Varianz sind zwei der wichtigsten numerischen Merkmale in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Der Erwartungswert (Mittelwert) E(X) stellt den Durchschnittswert der Zufallsvariablen dar und spiegelt die zentrale Tendenz der Daten wider. Die Varianz Var(X) stellt den Grad dar, in dem die Zufallsvariable von der Erwartung abweicht, und spiegelt den Grad der Streuung der Daten wider. Die Standardabweichung σ ist die Quadratwurzel der Varianz, die dieselbe Einheit wie die Originaldaten hat und intuitiver ist.
Für diskrete Zufallsvariablen lautet der Erwartungswert E(X) = Σ xᵢpᵢ (die Summe jedes Werts multipliziert mit seiner Wahrscheinlichkeit). Varianz Var(X) = E[(X-E(X))²] = E(X²) - [E(X)]². Für kontinuierliche Zufallsvariablen werden Erwartungswert und Varianz mithilfe von Integralen berechnet. Erwartung und Varianz haben viele wichtige Eigenschaften, wie zum Beispiel E(aX+b) = aE(X)+b, Var(aX+b) = a²Var(X).
In praktischen Anwendungen gibt es überall Erwartungen und Abweichungen. Bei Anlageentscheidungen repräsentiert die erwartete Rendite die durchschnittliche Rendite und die Varianz das Risiko. Bei der Qualitätskontrolle ist die Erwartung an die Produktabmessungen der Zielwert und die Varianz steht für Stabilität. Bei der Testergebnisanalyse ist die Erwartung die durchschnittliche Punktzahl, und die Varianz spiegelt die Streuung der Ergebnisse wider. In der Versicherungsmathematik werden erwartete Schadensfälle zur Preisgestaltung und Abweichungen zur Risikobewertung herangezogen.
Unser Rechner für erwartete Varianz unterstützt Berechnungen sowohl für diskrete als auch für kontinuierliche Zufallsvariablen. Sie können eine Wahrscheinlichkeitsverteilungstabelle eingeben und automatisch Statistiken wie Erwartung, Varianz und Standardabweichung berechnen. Außerdem werden detaillierte Berechnungsverfahren und Erläuterungen zur statistischen Signifikanz bereitgestellt, um Ihnen das Verständnis dieser Konzepte zu erleichtern. Unabhängig davon, ob Studenten Wahrscheinlichkeitsstatistiken erlernen oder Datenanalysten Risikobewertungen durchführen, kann dieses Tool genaue und effiziente Berechnungsdienste bereitstellen.
Was berechnet wird
The expectation and variance calculator finds the expected value, variance, and standard deviation of a discrete random variable.
Formel
- E(X) = sum(x_i * p_i)
- Var(X) = sum((x_i - E(X))^2 * p_i)
- SD(X) = sqrt(Var(X))
Eingaben
- Possible values x_i.
- Probability p_i for each value.
- The probabilities should usually sum to 1.
Beispiel
| Value | Probability | Contribution |
|---|---|---|
| 0 | 0.5 | 0 * 0.5 |
| 10 | 0.5 | 10 * 0.5 |
| Expected value | - | 5 |
So interpretierst du das Ergebnis
Expected value is the long-run average. Variance measures spread around the expected value, and standard deviation uses the same unit as the original variable.
Häufige Fehler
- Probabilities should not drift away from a total of 1.
- The expected value does not have to be an actually possible value.
- Variance is measured in squared units.
So verwendest du ihn
Die Verwendung des Rechners für die erwartete Varianz ist sehr einfach. Geben Sie einfach den Wert der Zufallsvariablen und die entsprechende Wahrscheinlichkeit ein.
**Grundlegende Schritte:** 1. Wählen Sie den Zufallsvariablentyp (diskret oder kontinuierlich) aus. 2. Geben Sie den Wert xᵢ der Zufallsvariablen ein 3. Geben Sie die entsprechende Wahrscheinlichkeit pᵢ (diskreter Typ) oder die Wahrscheinlichkeitsdichte (kontinuierlicher Typ) ein. 4. Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“, um die Ergebnisse anzuzeigen
**Beispiel 1:** Erwartung und Varianz eines Würfelwurfs. X nimmt die Werte 1,2,3,4,5,6 an und die Wahrscheinlichkeit beträgt 1/6. Erwarten Sie E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. E(X²) = (1+4+9+16+25+36)/6 = 15,167. VarianceVar(X) = 15,167 - 3,5² = 2,917. Standardabweichung σ ≈ 1,708.
**Beispiel 2:** Erwartung und Varianz der Anlagerenditen. Investition A: Die Wahrscheinlichkeit einer Rendite von 10 % beträgt 0,5 und die Wahrscheinlichkeit einer Rendite von -5 % beträgt 0,5. Erwartetes E(X) = 10 %×0,5 + (-5 %)×0,5 = 2,5 %. Varianz Var(X) = [10 %²×0,5 + (-5 %)²×0,5] – 2,5 %² = 0,005625, Standardabweichung σ = 7,5 %.
**Beispiel 3:** Analyse der Prüfungsergebnisse. Die Ergebnisse einer bestimmten Klasse: 10 Schüler erzielten 60 Punkte, 20 Schüler erzielten 70 Punkte, 30 Schüler erzielten 80 Punkte, 20 Schüler erzielten 90 Punkte und 20 Schüler erzielten 100 Punkte. Gesamtzahl der Personen: 100. Erwartetes E(X) = (60×10 + 70×20 + 80×30 + 90×20 + 100×20)/100 = 81 Punkte. Berechnen Sie Varianz und Standardabweichung, um die Streuung der Noten zu beurteilen.
Der Rechner zeigt Statistiken wie Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung, Variationskoeffizient usw. an und liefert detaillierte Berechnungsschritte.
Hauptfunktionen
• Diskrete Zufallsvariablen: Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz einer diskreten Verteilung • Kontinuierliche Zufallsvariablen: Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz einer kontinuierlichen Verteilung • Verschiedene Statistiken: Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung, Variationskoeffizient • Berechnungsschritte: detaillierten Berechnungsprozess anzeigen • Wahrscheinlichkeitsüberprüfung: Prüft automatisch, ob die Summe der Wahrscheinlichkeiten 1 beträgt • Gemeinsame Verteilungen: Bietet schnelle Berechnungen von Binomialverteilungen, Poisson-Verteilungen usw. • Datenimport: Unterstützt den Import von Daten aus Excel und CSV • Diagrammanzeige: Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung und der erwarteten Position • Statistische Signifikanz: Erklären Sie, was Erwartungen und Abweichungen tatsächlich bedeuten • Völlig kostenlos: keine Registrierung erforderlich, Nutzung jederzeit möglich
Anwendungsfälle
• Anlageentscheidungen: Berechnen Sie die erwartete Rendite und das Risiko eines Anlageportfolios • Qualitätskontrolle: Analysieren Sie die Stabilität der Produktqualität • Testanalyse: Bewertung des Mittelwerts und der Streuung der Testergebnisse • Versicherungsmathematisch: Berechnung der erwarteten Schadensfälle und Risikoreserven • Projektmanagement: Bewertung der Projektdauer und Kostenunsicherheiten • Datenanalyse: Beschreiben Sie die zentrale Tendenz und Streuung der Daten • Wahrscheinlichkeits- und Statistiklernen: Die Schüler lernen die Konzepte von Erwartung und Varianz • Risikobewertung: Quantifizierung des Ausmaßes des Risikos • Entscheidungsanalyse: Vergleich des erwarteten Nutzens verschiedener Optionen • Wissenschaftliche Forschung: Analyse der statistischen Merkmale experimenteller Daten