Über diesen Rechner
Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass ein seltenes Ereignis in einem bestimmten Zeitraum oder Raum auftritt? Die Poisson-Verteilung ist eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie und wird insbesondere zur Beschreibung der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl zufälliger Ereignisse verwendet, die pro Zeiteinheit (oder Raum) auftreten. Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der Poisson-Verteilung ist P(X=k) = (λᵏ × e⁻λ) / k!, wobei λ die durchschnittliche Auftrittsrate und k die Anzahl der Ereignisereignisse ist.
Die Poisson-Verteilung weist drei wichtige Merkmale auf: ① Ereignisse treten unabhängig voneinander auf; ② die durchschnittliche Häufigkeit des Auftretens von Ereignissen ist konstant; ③ Zwei Ereignisse treten nicht gleichzeitig auf. Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, folgt die Anzahl der Ereignisereignisse einer Poisson-Verteilung. Der Erwartungswert und die Varianz der Poisson-Verteilung sind beide gleich λ.
Im wirklichen Leben wird die Poisson-Verteilung äußerst häufig verwendet. Die Anzahl der Besuche einer Website pro Stunde, die Anzahl der Anrufe pro Minute bei einer Telefonzentrale, die Anzahl der pro Tag in die Notaufnahme eines Krankenhauses eingelieferten Patienten, die Anzahl radioaktiver Zerfälle, die Anzahl von Druckfehlern in Büchern, die Anzahl von Verkehrsunfällen usw. können alle mit der Poisson-Verteilung modelliert werden.
Unser Poisson-Verteilungsrechner kann schnell die Wahrscheinlichkeit P (X=k), die kumulative Wahrscheinlichkeit P (X≤k), den Erwartungswert, die Varianz und andere Statistiken für gegebene Parameterwerte λ und k berechnen. Außerdem werden Wahrscheinlichkeitsverteilungsdiagramme bereitgestellt, die Ihnen helfen, die Merkmale der Poisson-Verteilung intuitiv zu verstehen. Unabhängig davon, ob Studenten Wahrscheinlichkeitsstatistiken erlernen oder Datenanalysten Modellierungen durchführen, kann dieses Tool genaue und effiziente Berechnungsdienste bereitstellen.
Was berechnet wird
The Poisson distribution calculator finds the probability that an event occurs k times in a fixed interval when the average rate is known.
Formel
P(X = k) = e^-lambda * lambda^k / k!, where lambda is the average number of events and k is the target count.
Eingaben
- lambda: the average number of events in the interval.
- k: the number of events to evaluate.
Beispiel
| lambda | k | Question |
|---|---|---|
| 3 | 0 | Probability of no events when the average is 3 |
| 3 | 3 | Probability of exactly the average count |
| 5 | 8 | Probability of a higher-than-average count |
So interpretierst du das Ergebnis
The result is the probability of exactly k events. As lambda increases, the distribution shifts right. Counts far from lambda usually have lower probability.
Häufige Fehler
- lambda must be greater than 0.
- k must be a nonnegative integer.
- Poisson distribution assumes independent events and a stable average rate.
So verwendest du ihn
Die Verwendung des Poisson-Verteilungsrechners ist sehr einfach. Bestimmen Sie zunächst die durchschnittliche Auftrittsrate λ und die Anzahl der zu zählenden Ereignisse k.
**Grundlegende Schritte:** 1. Geben Sie die durchschnittliche Ereignisrate λ ein (die durchschnittliche Anzahl von Ereignissen pro Zeit- oder Raumeinheit). 2. Geben Sie die Anzahl der Ereignisse k ein (um die Wahrscheinlichkeit des Auftretens k-mal zu berechnen). 3. Wählen Sie den Berechnungstyp (Einzelpunktwahrscheinlichkeit, kumulative Wahrscheinlichkeit oder Intervallwahrscheinlichkeit) 4. Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“, um die Ergebnisse anzuzeigen
**Beispiel 1:** Eine Website hat durchschnittlich 3 Besuche pro Stunde (λ=3). Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für genau 5 Besuche. P(X=5) = (3⁵ × e⁻³) / 5! = (243 × 0,0498) / 120 ≈ 0,1008, etwa 10,08 %.
**Beispiel 2:** Die Notaufnahme eines Krankenhauses empfängt durchschnittlich 4 Patienten pro Tag (λ=4). Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, an einem bestimmten Tag nicht mehr als 2 Patienten zu empfangen. P(X≤2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = e⁻⁴ + 4e⁻⁴ + 8e⁻⁴ = 13e⁻⁴ ≈ 0,2381, etwa 23,81 %.
**Beispiel 3:** Ein bestimmtes Buch weist durchschnittlich 0,5 Druckfehler pro Seite auf (λ=0,5). Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Seite drei oder mehr Fehler aufweist. P(X≥3) = 1 – P(X≤2) = 1 – [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)] ≈ 1 – 0,9856 = 0,0144, etwa 1,44 %.
Der Rechner berechnet automatisch Statistiken wie Wahrscheinlichkeitswert, Erwartung, Varianz, Standardabweichung usw. und zeichnet ein Wahrscheinlichkeitsverteilungsdiagramm.
Hauptfunktionen
• Einzelpunktwahrscheinlichkeit: Berechnen Sie P(X=k), die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis genau k-mal auftritt • Kumulative Wahrscheinlichkeit: Berechnen Sie P(X≤k) oder P(X≥k), kumulative Verteilungsfunktion • Intervallwahrscheinlichkeit: Berechnen Sie P(a≤X≤b), die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Ereignisse innerhalb des Intervalls liegt • Statistiken: Berechnen Sie automatisch Erwartung, Varianz und Standardabweichung • Wahrscheinlichkeitsdiagramme: Zeichnen Sie Wahrscheinlichkeitsmassenfunktionen und kumulative Verteilungsfunktionen auf • Parameteranpassung: Unterstützt die Echtzeitanpassung des λ-Werts und die Beobachtung von Verteilungsänderungen • Hochpräzise Berechnung: Berechnen Sie genau die Wahrscheinlichkeit großer λ-Werte und großer k-Werte • Formelanzeige: Zeigt die Wahrscheinlichkeitsformel der Poisson-Verteilung an • Anwendungsbeispiele: Bietet Modellierungsbeispiele für reale Probleme • Völlig kostenlos: keine Registrierung erforderlich, Nutzung jederzeit möglich
Anwendungsfälle
• Website-Analyse: Vorhersage der Wahrscheinlichkeitsverteilung von Website-Besuchen • Callcenter: Analysieren Sie das Anrufaufkommen und optimieren Sie die Personalbesetzung • Medizinisches Management: Prognostizieren Sie die Anzahl der Notfallpatienten und ordnen Sie die Ressourcen rational ein • Qualitätskontrolle: Analysieren Sie die Anzahl der Produktfehler und bewerten Sie die Produktionsqualität • Verkehrsplanung: Prognostizieren Sie die Anzahl der Verkehrsunfälle • Versicherungsmathematisch: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der Anzahl der Schadensfälle • Radioaktivitätsforschung: Analyse der Anzahl radioaktiver Zerfälle • Biologie: Untersuchen Sie die Anzahl der Bakterienkolonien und genetischen Mutationen • Erlernen der Wahrscheinlichkeitsstatistik: Die Studierenden erlernen die Poisson-Verteilungstheorie • Datenmodellierung: Erstellen Sie Wahrscheinlichkeitsmodelle für seltene Ereignisse