Informazioni su questa calcolatrice
Come misurare il livello medio e la volatilità di una variabile casuale? L'aspettativa e la varianza sono due delle caratteristiche numeriche più importanti nella probabilità e nella statistica. L'aspettativa (media) E(X) rappresenta il valore medio della variabile casuale e riflette la tendenza centrale dei dati. La varianza Var(X) rappresenta il grado in cui la variabile casuale si discosta dall'aspettativa e riflette il grado di dispersione dei dati. La deviazione standard σ è la radice quadrata della varianza, che ha la stessa unità dei dati originali ed è più intuitiva.
Per le variabili casuali discrete, l'aspettativa è E(X) = Σ xᵢpᵢ (la somma di ciascun valore moltiplicata per la sua probabilità). Varianza Var(X) = E[(X-E(X))²] = E(X²) - [E(X)]². Per le variabili casuali continue, l'aspettativa e la varianza vengono calcolate utilizzando gli integrali. Aspettativa e varianza hanno molte proprietà importanti, come E(aX+b) = aE(X)+b, Var(aX+b) = a²Var(X).
Nelle applicazioni pratiche, le aspettative e le variazioni sono ovunque. Nelle decisioni di investimento, il tasso di rendimento atteso rappresenta il rendimento medio e la varianza rappresenta il rischio. Nel controllo di qualità, l'aspettativa delle dimensioni del prodotto è il valore target e la varianza rappresenta la stabilità. Nell'analisi del punteggio del test, l'aspettativa è il punteggio medio e la varianza riflette la dispersione dei punteggi. Nella scienza attuariale, le dichiarazioni previste vengono utilizzate per la determinazione del prezzo e gli scostamenti vengono utilizzati per la valutazione del rischio.
Il nostro calcolatore della varianza attesa supporta calcoli sia per variabili casuali discrete che continue. È possibile inserire una tabella di distribuzione delle probabilità e calcolare automaticamente statistiche quali aspettativa, varianza e deviazione standard. Vengono inoltre fornite procedure di calcolo dettagliate e spiegazioni sulla significatività statistica per aiutare a comprendere questi concetti. Sia che gli studenti stiano imparando le statistiche sulle probabilità o che gli analisti di dati stiano conducendo valutazioni del rischio, questo strumento può fornire servizi di calcolo accurati ed efficienti.
Cosa calcola
The expectation and variance calculator finds the expected value, variance, and standard deviation of a discrete random variable.
Formula
- E(X) = sum(x_i * p_i)
- Var(X) = sum((x_i - E(X))^2 * p_i)
- SD(X) = sqrt(Var(X))
Dati di input
- Possible values x_i.
- Probability p_i for each value.
- The probabilities should usually sum to 1.
Esempio
| Value | Probability | Contribution |
|---|---|---|
| 0 | 0.5 | 0 * 0.5 |
| 10 | 0.5 | 10 * 0.5 |
| Expected value | - | 5 |
Come interpretare il risultato
Expected value is the long-run average. Variance measures spread around the expected value, and standard deviation uses the same unit as the original variable.
Errori comuni
- Probabilities should not drift away from a total of 1.
- The expected value does not have to be an actually possible value.
- Variance is measured in squared units.
Come usare
Usare il calcolatore della varianza attesa è molto semplice. Basta inserire il valore della variabile casuale e la probabilità corrispondente.
**Passaggi di base:** 1. Seleziona il tipo di variabile casuale (discreta o continua) 2. Immettere il valore xᵢ della variabile casuale 3. Inserisci la probabilità pᵢ corrispondente (tipo discreto) o la densità di probabilità (tipo continuo) 4. Fare clic sul pulsante "Calcola" per visualizzare i risultati
**Esempio 1:** Aspettativa e varianza del lancio di un dado. X assume valori 1,2,3,4,5,6 e la probabilità è 1/6. Aspettatevi E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. E(X²) = (1+4+9+16+25+36)/6 = 15,167. VarianzaVar(X) = 15,167 - 3,5² = 2,917. Deviazione standard σ ≈ 1.708.
**Esempio 2:** Aspettativa e varianza dei rendimenti degli investimenti. Investimento A: la probabilità di un rendimento del 10% è 0,5 e la probabilità di un rendimento del -5% è 0,5. E(X) previsto = 10%×0,5 + (-5%)×0,5 = 2,5%. Varianza Var(X) = [10%²×0,5 + (-5%)²×0,5] - 2,5%² = 0,005625, deviazione standard σ = 7,5%.
**Esempio 3:** Analisi del punteggio dell'esame. I risultati di una determinata classe: 10 studenti hanno segnato 60 punti, 20 studenti hanno segnato 70 punti, 30 studenti hanno segnato 80 punti, 20 studenti hanno segnato 90 punti e 20 studenti hanno segnato 100 punti. Numero totale di persone: 100. E(X) previsto = (60×10 + 70×20 + 80×30 + 90×20 + 100×20)/100 = 81 punti. Calcolare la varianza e la deviazione standard per valutare la dispersione dei voti.
La calcolatrice visualizzerà statistiche come aspettativa, varianza, deviazione standard, coefficiente di variazione, ecc. e fornirà passaggi di calcolo dettagliati.
Funzioni principali
• Variabili casuali discrete: calcola l'aspettativa e la varianza di una distribuzione discreta • Variabili casuali continue: calcola l'aspettativa e la varianza di una distribuzione continua • Varie statistiche: aspettativa, varianza, deviazione standard, coefficiente di variazione • Fasi di calcolo: mostra il processo di calcolo dettagliato • Verifica della probabilità: controlla automaticamente se la somma delle probabilità è 1 • Distribuzioni comuni: fornisce calcoli rapidi della distribuzione binomiale, della distribuzione di Poisson, ecc. • Importazione dati: supporta l'importazione di dati da Excel e CSV • Visualizzazione del grafico: traccia la distribuzione di probabilità e la posizione prevista • Significatività statistica: spiegare cosa significano effettivamente le aspettative e le varianze • Totalmente gratuito: nessuna registrazione richiesta, utilizzabile in qualsiasi momento
Casi d’uso
• Decisioni di investimento: calcola il rendimento atteso e il rischio di un portafoglio di investimenti • Controllo qualità: analizzare la stabilità della qualità del prodotto • Analisi del test: valutazione della media e della dispersione dei punteggi dei test • Attuariale: calcolo dei sinistri attesi e delle riserve di rischio • Gestione del progetto: valutazione della durata del progetto e delle incertezze sui costi • Analisi dei dati: descrivere la tendenza centrale e la dispersione dei dati • Apprendimento di probabilità e statistica: gli studenti apprendono i concetti di aspettativa e varianza • Valutazione del rischio: quantificare l'entità del rischio • Analisi decisionale: confronto dell'utilità attesa di diverse opzioni • Ricerca scientifica: analisi delle caratteristiche statistiche dei dati sperimentali