Tentang kalkulator ini
Bagaimana untuk menukar antara perwakilan nombor kompleks yang berbeza? Terdapat dua perwakilan nombor kompleks yang biasa digunakan: bentuk koordinat segi empat tepat (bentuk algebra) z = a + bi, dan bentuk koordinat kutub (bentuk trigonometri) z = r(cosθ + i sinθ) = r∠θ. Di mana a ialah bahagian sebenar, b ialah bahagian khayalan, r ialah modul (|z| = √(a²+b²)), dan θ ialah hujah (arg(z) = arctan(b/a)).
Kedua-dua bentuk mempunyai kelebihan mereka. Bentuk koordinat segi empat tepat memudahkan operasi tambah dan tolak: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i. Bentuk kutub memudahkan operasi darab dan bahagi: r₁∠θ₁ × r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁+θ₂). Formula Euler e^(iθ) = cosθ + i sinθ menghubungkan kedua-dua bentuk, dan bentuk koordinat kutub juga boleh ditulis sebagai z = re^(iθ).
Dalam aplikasi praktikal, penukaran borang adalah sangat biasa. Dalam pemprosesan isyarat, hasil transformasi Fourier mewakili amplitud dan fasa dalam bentuk koordinat kutub. Dalam analisis litar, impedans arus ulang alik diwakili oleh nombor kompleks, dan perbezaan amplitud dan fasa secara visual dipaparkan dalam bentuk koordinat kutub. Dalam teori kawalan, tindak balas frekuensi sistem diwakili oleh gambar rajah Bode dalam bentuk koordinat kutub. Dalam mekanik kuantum, fasa fungsi gelombang diterangkan dalam bentuk kutub.
Kalkulator penukaran bentuk kompleks kami menukar dengan cepat antara koordinat segi empat tepat dan kutub. Menyokong kedua-dua unit sudut dan radian, dan secara automatik mengendalikan julat nilai utama hujah. Formula penukaran terperinci dan langkah pengiraan disediakan untuk membantu anda memahami hubungan antara kedua-dua bentuk. Sama ada pelajar mempelajari teori nombor kompleks atau jurutera sedang melakukan analisis isyarat, alat ini boleh menyediakan perkhidmatan penukaran yang tepat dan mudah.
Apa yang dikira
The complex form converter changes a complex number between algebraic form a + bi, polar form r∠θ, and exponential form re^{iθ}.
Formula
- r = sqrt(a^2 + b^2)
- θ = atan2(b, a)
- a = r cos θ
- b = r sin θ
- re^{iθ} = r(cos θ + i sin θ)
Input
- Algebraic form: enter real part a and imaginary part b.
- Polar form: enter modulus r and angle θ.
- Use the same angle unit as the page setting.
Contoh
| Algebraic form | Polar form | Note |
|---|---|---|
| 1 + i | sqrt(2)∠45° | First quadrant |
| -1 + i | sqrt(2)∠135° | Second quadrant |
| 0 - 2i | 2∠-90° | Negative imaginary axis |
Cara mentafsir keputusan
Algebraic form is convenient for addition and subtraction; polar and exponential forms are better for multiplication, division, powers, and roots. All forms describe the same point.
Kesilapan biasa
- Do not mix degrees and radians.
- Keep quadrant information when computing θ.
- The modulus r cannot be negative.
Cara menggunakan
Menggunakan kalkulator penukaran bentuk jamak adalah sangat mudah. Hanya pilih borang input dan masukkan parameter.
**Kaedah 1: Tukar koordinat Cartesan kepada koordinat kutub** 1. Pilih mod input "Koordinat segi empat tepat". 2. Masukkan bahagian a sebenar dan bahagian khayalan b 3. Klik butang "Tukar". 4. Lihat modulus r dan hujah θ (sudut atau radian)
**Contoh 1:** Tukarkan 3+4i kepada bentuk kutub. r = √(3²+4²) = √25 = 5. θ = arctan(4/3) ≈ 53.13° ≈ 0.927 radian. Keputusan: 5∠53.13° atau 5e^(0.927i).
**Contoh 2:** Tukarkan -1+i kepada bentuk koordinat kutub. r = √((-1)²+1²) = √2 ≈ 1.414. θ = arctan(1/(-1)) = 135° (kuadran kedua) ≈ 2.356 radian. Keputusan: √2∠135°.
**Kaedah 2: Tukar koordinat kutub kepada koordinat segi empat tepat** 1. Pilih mod input "Koordinat Kutub". 2. Masukkan modulus r dan sudut hujah θ (pilih sudut atau radian) 3. Klik butang "Tukar". 4. Semak bahagian a sebenar dan bahagian khayalan b
**Contoh 3:** Tukarkan 2∠60° kepada bentuk koordinat Cartesan. a = 2cos60° = 2×0.5 = 1. b = 2sin60° = 2×(√3/2) = √3 ≈ 1.732. Keputusan: 1 + 1.732i.
**Contoh 4:** Tukarkan e^(iπ) kepada bentuk koordinat segi empat tepat. r=1, θ=π. a = cos(π) = -1, b = sin(π) = 0. Keputusan: -1 (identiti Euler: e^(iπ) = -1).
Kalkulator menunjukkan formula penukaran terperinci, langkah pengiraan dan perbandingan kedua-dua bentuk.
Ciri utama
• Penukaran dua arah: Koordinat Cartesian ↔ koordinat kutub • Unit sudut: Menyokong sudut dan radian • Nilai utama hujah: secara automatik mengira nilai utama hujah (-π hingga π atau 0 hingga 2π) • Pertimbangan kuadran: menilai secara automatik kuadran nombor kompleks • Bentuk Euler: memaparkan bentuk e^(iθ) • Formula penukaran: paparkan formula penukaran terperinci • Langkah pengiraan: paparkan proses pengiraan yang lengkap • Persembahan grafik: memplot nombor kompleks dalam satah kompleks • Penukaran kelompok: menyokong penukaran kelompok berbilang nombor kompleks • Benar-benar percuma: tiada pendaftaran diperlukan, gunakan bila-bila masa
Kegunaan
• Analisis Nombor Kompleks: Pelajar mempelajari perwakilan yang berbeza bagi nombor kompleks • Pemprosesan isyarat: amplitud dan perwakilan fasa hasil transformasi Fourier • Analisis Litar: Perwakilan kutub galangan dalam litar AC • Teori kawalan: Plot petanda tindak balas frekuensi sistem • Mekanik Kuantum: Amplitud dan Fasa Fungsi Gelombang • Pengiraan kejuruteraan: penukaran formal dalam operasi nombor kompleks • Peraduan Matematik: Tukar bentuk jamak dengan cepat • Persediaan Peperiksaan: Sahkan Jawapan kepada Soalan Penukaran Plural • Bahan bantu mengajar: guru menerangkan maksud geometri bagi nombor kompleks • Pengkomputeran Saintifik: Pilihan Formal dalam Pengiraan Intensif Nombor Kompleks