Sobre esta calculadora
Como medir o nível médio e a volatilidade de uma variável aleatória? Expectativa e variância são duas das características numéricas mais importantes em probabilidade e estatística. A expectativa (média) E(X) representa o valor médio da variável aleatória e reflete a tendência central dos dados. A variância Var(X) representa o grau em que a variável aleatória se desvia da expectativa e reflete o grau de dispersão dos dados. O desvio padrão σ é a raiz quadrada da variância, que possui a mesma unidade dos dados originais e é mais intuitivo.
Para variáveis aleatórias discretas, a expectativa é E(X) = Σ xᵢpᵢ (a soma de cada valor multiplicada por sua probabilidade). Variância Var(X) = E[(X-E(X))²] = E(X²) - [E(X)]². Para variáveis aleatórias contínuas, a expectativa e a variância são calculadas usando integrais. A expectativa e a variância têm muitas propriedades importantes, como E(aX+b) = aE(X)+b, Var(aX+b) = a²Var(X).
Em aplicações práticas, as expectativas e variações estão por toda parte. Nas decisões de investimento, a taxa de retorno esperada representa o retorno médio e a variância representa o risco. No controle de qualidade, a expectativa das dimensões do produto é o valor alvo e a variação representa estabilidade. Na análise das pontuações dos testes, a expectativa é a pontuação média e a variância reflete a dispersão das pontuações. Na ciência atuarial, os sinistros esperados são usados para precificação e as variações são usadas para avaliação de risco.
Nossa calculadora de variância esperada suporta cálculos para variáveis aleatórias discretas e contínuas. Você pode inserir uma tabela de distribuição de probabilidade e calcular automaticamente estatísticas como expectativa, variância e desvio padrão. Procedimentos de cálculo detalhados e explicações de significância estatística também são fornecidos para ajudá-lo a compreender esses conceitos. Quer os alunos estejam aprendendo estatísticas de probabilidade ou os analistas de dados conduzindo avaliações de risco, esta ferramenta pode fornecer serviços de cálculo precisos e eficientes.
O que calcula
The expectation and variance calculator finds the expected value, variance, and standard deviation of a discrete random variable.
Fórmula
- E(X) = sum(x_i * p_i)
- Var(X) = sum((x_i - E(X))^2 * p_i)
- SD(X) = sqrt(Var(X))
Entradas
- Possible values x_i.
- Probability p_i for each value.
- The probabilities should usually sum to 1.
Exemplo
| Value | Probability | Contribution |
|---|---|---|
| 0 | 0.5 | 0 * 0.5 |
| 10 | 0.5 | 10 * 0.5 |
| Expected value | - | 5 |
Como interpretar o resultado
Expected value is the long-run average. Variance measures spread around the expected value, and standard deviation uses the same unit as the original variable.
Erros comuns
- Probabilities should not drift away from a total of 1.
- The expected value does not have to be an actually possible value.
- Variance is measured in squared units.
Como usar
Usar a calculadora de variância esperada é muito simples. Basta inserir o valor da variável aleatória e a probabilidade correspondente.
**Etapas básicas:** 1. Selecione o tipo de variável aleatória (discreta ou contínua) 2. Insira o valor xᵢ da variável aleatória 3. Insira a probabilidade correspondente pᵢ (tipo discreto) ou densidade de probabilidade (tipo contínuo) 4. Clique no botão "Calcular" para visualizar os resultados
**Exemplo 1:** Expectativa e variação de um lançamento de dados. X assume os valores 1,2,3,4,5,6 e a probabilidade é 1/6. Espere E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. E(X²) = (1+4+9+16+25+36)/6 = 15,167. VariânciaVar(X) = 15,167 - 3,5² = 2,917. Desvio padrão σ ≈ 1,708.
**Exemplo 2:** Expectativa e variação dos retornos do investimento. Investimento A: A probabilidade de um retorno de 10% é 0,5 e a probabilidade de um retorno de -5% é 0,5. E(X) esperado = 10%×0,5 + (-5%)×0,5 = 2,5%. Variância Var(X) = [10%²×0,5 + (-5%)²×0,5] - 2,5%² = 0,005625, desvio padrão σ = 7,5%.
**Exemplo 3:** Análise da pontuação do exame. Os resultados de uma determinada turma: 10 alunos marcaram 60 pontos, 20 alunos marcaram 70 pontos, 30 alunos marcaram 80 pontos, 20 alunos marcaram 90 pontos e 20 alunos marcaram 100 pontos. Número total de pessoas: 100. E(X) esperado = (60×10 + 70×20 + 80×30 + 90×20 + 100×20)/100 = 81 pontos. Calcule a variância e o desvio padrão para avaliar a dispersão das notas.
A calculadora exibirá estatísticas como expectativa, variância, desvio padrão, coeficiente de variação, etc., e fornecerá etapas de cálculo detalhadas.
Principais recursos
• Variáveis aleatórias discretas: calcule a expectativa e a variância de uma distribuição discreta • Variáveis aleatórias contínuas: calcule a expectativa e a variância de uma distribuição contínua • Várias estatísticas: expectativa, variância, desvio padrão, coeficiente de variação • Etapas de cálculo: mostre o processo de cálculo detalhado • Verificação de probabilidade: verifica automaticamente se a soma das probabilidades é 1 • Distribuições comuns: Fornece cálculos rápidos de distribuição binomial, distribuição de Poisson, etc. • Importação de dados: suporta importação de dados de Excel e CSV • Exibição de gráfico: traçar distribuição de probabilidade e posição esperada • Significância estatística: Explique o que as expectativas e variações realmente significam • Totalmente gratuito: não é necessário registro, use a qualquer momento
Casos de uso
• Decisões de investimento: calcule o retorno esperado e o risco de uma carteira de investimentos • Controle de Qualidade: Analise a estabilidade da qualidade do produto • Análise de teste: avaliação da média e dispersão das pontuações dos testes • Atuarial: Cálculo de sinistros esperados e reservas de risco • Gerenciamento de projetos: avaliando a duração do projeto e as incertezas de custo • Análise de dados: descrever a tendência central e dispersão dos dados • Aprendizagem de probabilidade e estatística: os alunos aprendem os conceitos de expectativa e variância • Avaliação de risco: quantificando a magnitude do risco • Análise de decisão: comparando a utilidade esperada de diferentes opções • Pesquisa científica: analisando as características estatísticas dos dados experimentais