เกี่ยวกับเครื่องคิดเลขนี้
จะวัดระดับเฉลี่ยและความผันผวนของตัวแปรสุ่มได้อย่างไร? ความคาดหวังและความแปรปรวนเป็นคุณลักษณะเชิงตัวเลขที่สำคัญที่สุดสองประการในความน่าจะเป็นและสถิติ ค่าคาดหวัง (ค่าเฉลี่ย) E(X) แสดงถึงค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มและสะท้อนถึงแนวโน้มศูนย์กลางของข้อมูล ความแปรปรวน Var(X) แสดงถึงระดับที่ตัวแปรสุ่มเบี่ยงเบนไปจากที่คาดไว้ และสะท้อนถึงระดับการกระจายตัวของข้อมูล ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ คือรากที่สองของความแปรปรวน ซึ่งมีหน่วยเดียวกันกับข้อมูลต้นฉบับและใช้งานง่ายกว่า
สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ค่าคาดหวังคือ E(X) = Σ xᵢpᵢ (ผลรวมของแต่ละค่าคูณด้วยความน่าจะเป็น) ความแปรปรวน Var(X) = E[(X-E(X))²] = E(X²) - [E(X)]² สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ค่าคาดหวังและความแปรปรวนจะถูกคำนวณโดยใช้อินทิกรัล ค่าคาดหวังและความแปรปรวนมีคุณสมบัติที่สำคัญหลายประการ เช่น E(aX+b) = aE(X)+b, Var(aX+b) = a²Var(X)
ในการใช้งานจริง ความคาดหวังและความแปรปรวนมีอยู่ทั่วไป ในการตัดสินใจลงทุน อัตราผลตอบแทนที่คาดหวังแสดงถึงผลตอบแทนเฉลี่ย และความแปรปรวนแสดงถึงความเสี่ยง ในการควบคุมคุณภาพ ความคาดหวังของมิติของผลิตภัณฑ์คือค่าเป้าหมาย และความแปรปรวนแสดงถึงความเสถียร ในการวิเคราะห์คะแนนการทดสอบ ความคาดหวังคือคะแนนเฉลี่ย และความแปรปรวนสะท้อนถึงการกระจายตัวของคะแนน ในทางคณิตศาสตร์ประกันภัย คำกล่าวอ้างที่คาดหวังจะถูกใช้สำหรับการกำหนดราคา และความแปรปรวนจะถูกใช้สำหรับการประเมินความเสี่ยง
เครื่องคำนวณความแปรปรวนที่คาดไว้ของเรารองรับการคำนวณตัวแปรสุ่มทั้งแบบแยกส่วนและแบบต่อเนื่อง คุณสามารถป้อนตารางการแจกแจงความน่าจะเป็นและคำนวณสถิติต่างๆ เช่น ค่าคาดหวัง ความแปรปรวน และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานได้โดยอัตโนมัติ ขั้นตอนการคำนวณโดยละเอียดและคำอธิบายเกี่ยวกับนัยสำคัญทางสถิติมีไว้เพื่อช่วยให้คุณเข้าใจแนวคิดเหล่านี้ ไม่ว่านักเรียนจะเรียนรู้สถิติความน่าจะเป็นหรือนักวิเคราะห์ข้อมูลกำลังดำเนินการประเมินความเสี่ยง เครื่องมือนี้สามารถให้บริการการคำนวณที่แม่นยำและมีประสิทธิภาพ
คำนวณอะไร
The expectation and variance calculator finds the expected value, variance, and standard deviation of a discrete random variable.
สูตร
- E(X) = sum(x_i * p_i)
- Var(X) = sum((x_i - E(X))^2 * p_i)
- SD(X) = sqrt(Var(X))
ข้อมูลนำเข้า
- Possible values x_i.
- Probability p_i for each value.
- The probabilities should usually sum to 1.
ตัวอย่าง
| Value | Probability | Contribution |
|---|---|---|
| 0 | 0.5 | 0 * 0.5 |
| 10 | 0.5 | 10 * 0.5 |
| Expected value | - | 5 |
วิธีตีความผลลัพธ์
Expected value is the long-run average. Variance measures spread around the expected value, and standard deviation uses the same unit as the original variable.
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
- Probabilities should not drift away from a total of 1.
- The expected value does not have to be an actually possible value.
- Variance is measured in squared units.
วิธีใช้
การใช้เครื่องคำนวณความแปรปรวนที่คาดไว้นั้นง่ายมาก เพียงป้อนค่าของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน
**ขั้นตอนพื้นฐาน:** 1. เลือกประเภทตัวแปรสุ่ม (ไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่อง) 2. ป้อนค่า xᵢ ของตัวแปรสุ่ม 3. ป้อนความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน pᵢ (ประเภทแยก) หรือความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (ประเภทต่อเนื่อง) 4. คลิกปุ่ม "คำนวณ" เพื่อดูผลลัพธ์
**ตัวอย่างที่ 1:** ความคาดหวังและความแปรปรวนของลูกกลิ้งแม่พิมพ์ X รับค่า 1,2,3,4,5,6 และความน่าจะเป็นคือ 1/6 คาดว่า E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5 E(X²) = (1+4+9+16+25+36)/6 = 15.167 ความแปรปรวนVar(X) = 15.167 - 3.5² = 2.917 ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ µ 1.708
**ตัวอย่างที่ 2:** ความคาดหวังและความแปรปรวนของผลตอบแทนจากการลงทุน การลงทุน A: ความน่าจะเป็นของผลตอบแทน 10% คือ 0.5 และความน่าจะเป็นของผลตอบแทน -5% คือ 0.5 E ที่คาดหวัง(X) = 10%×0.5 + (-5%)×0.5 = 2.5% ความแปรปรวน Var(X) = [10%²×0.5 + (-5%)²×0.5] - 2.5%² = 0.005625 ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = 7.5%
**ตัวอย่างที่ 3:** การวิเคราะห์คะแนนสอบ ผลลัพธ์ของชั้นเรียนหนึ่งๆ ได้แก่ นักเรียน 10 คนได้คะแนน 60 คะแนน นักเรียน 20 คนได้คะแนน 70 คะแนน นักเรียน 30 คนได้คะแนน 80 คะแนน นักเรียน 20 คนได้คะแนน 90 คะแนน และนักเรียน 20 คนได้คะแนน 100 คะแนน จำนวนคนทั้งหมด: 100 คะแนนที่คาดหวัง E(X) = (60×10 + 70×20 + 80×30 + 90×20 + 100×20)/100 = 81 คะแนน คำนวณความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเพื่อประเมินการกระจายตัวของเกรด
เครื่องคิดเลขจะแสดงสถิติ เช่น ค่าคาดหวัง ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน ฯลฯ และให้ขั้นตอนการคำนวณโดยละเอียด
คุณสมบัติหลัก
• ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง: คำนวณค่าคาดหวังและความแปรปรวนของการแจกแจงแบบแยกส่วน • ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง: คำนวณความคาดหวังและความแปรปรวนของการแจกแจงแบบต่อเนื่อง • สถิติต่างๆ: ความคาดหวัง ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน • ขั้นตอนการคำนวณ: แสดงขั้นตอนการคำนวณโดยละเอียด • การตรวจสอบความน่าจะเป็น: ตรวจสอบโดยอัตโนมัติว่าผลรวมของความน่าจะเป็นคือ 1 หรือไม่ • การแจกแจงทั่วไป: ให้การคำนวณอย่างรวดเร็วของการแจกแจงแบบทวินาม การแจกแจงแบบปัวซอง ฯลฯ • การนำเข้าข้อมูล: รองรับการนำเข้าข้อมูลจาก Excel และ CSV • การแสดงแผนภูมิ: การกระจายความน่าจะเป็นของพล็อตและตำแหน่งที่คาดหวัง • นัยสำคัญทางสถิติ: อธิบายว่าความคาดหวังและความแปรปรวนหมายถึงอะไรจริงๆ • ฟรีทั้งหมด: ไม่ต้องลงทะเบียน ใช้งานได้ทุกเวลา
กรณีการใช้งาน
• การตัดสินใจลงทุน: คำนวณผลตอบแทนและความเสี่ยงที่คาดหวังของพอร์ตการลงทุน • การควบคุมคุณภาพ: วิเคราะห์ความเสถียรของคุณภาพผลิตภัณฑ์ • การวิเคราะห์การทดสอบ: การประเมินค่าเฉลี่ยและการกระจายของคะแนนการทดสอบ • คณิตศาสตร์ประกันภัย: การคำนวณค่าสินไหมทดแทนที่คาดหวังและสำรองความเสี่ยง • การจัดการโครงการ: การประเมินระยะเวลาของโครงการและความไม่แน่นอนของต้นทุน • การวิเคราะห์ข้อมูล: อธิบายแนวโน้มจากศูนย์กลางและการกระจายตัวของข้อมูล • การเรียนรู้ความน่าจะเป็นและสถิติ: นักเรียนเรียนรู้แนวคิดเรื่องความคาดหวังและความแปรปรวน • การประเมินความเสี่ยง: การหาปริมาณขนาดของความเสี่ยง • การวิเคราะห์การตัดสินใจ: การเปรียบเทียบประโยชน์ที่คาดหวังของตัวเลือกต่างๆ • การวิจัยทางวิทยาศาสตร์: การวิเคราะห์ลักษณะทางสถิติของข้อมูลการทดลอง