Про цей калькулятор
Як виміряти середній рівень і волатильність випадкової величини? Математичне очікування та дисперсія є двома найважливішими числовими характеристиками ймовірності та статистики. Очікуване (середнє) E(X) представляє середнє значення випадкової змінної та відображає центральну тенденцію даних. Дисперсія Var(X) представляє ступінь, до якої випадкова змінна відхиляється від очікування, і відображає ступінь дисперсії даних. Стандартне відхилення σ — це квадратний корінь із дисперсії, який має ту саму одиницю, що й вихідні дані, і є більш інтуїтивно зрозумілим.
Для дискретних випадкових змінних очікування дорівнює E(X) = Σ xᵢpᵢ (сума кожного значення, помножена на його ймовірність). Дисперсія Var(X) = E[(X-E(X))²] = E(X²) - [E(X)]². Для безперервних випадкових величин очікування та дисперсія обчислюються за допомогою інтегралів. Математичне очікування та дисперсія мають багато важливих властивостей, наприклад E(aX+b) = aE(X)+b, Var(aX+b) = a²Var(X).
У практичних застосуваннях очікування та відхилення присутні всюди. У інвестиційних рішеннях очікувана норма прибутку представляє середній прибуток, а дисперсія — ризик. При контролі якості очікування розмірів продукту є цільовим значенням, а дисперсія представляє стабільність. При аналізі результатів тесту очікуванням є середній бал, а дисперсія відображає дисперсію балів. В актуарній науці очікувані вимоги використовуються для ціноутворення, а відхилення використовуються для оцінки ризику.
Наш калькулятор очікуваної дисперсії підтримує обчислення як для дискретних, так і для безперервних випадкових змінних. Ви можете ввести таблицю розподілу ймовірностей і автоматично обчислити такі статистичні дані, як очікування, дисперсія та стандартне відхилення. Також надаються детальні процедури обчислення та пояснення статистичної значущості, щоб допомогти вам зрозуміти ці поняття. Незалежно від того, чи вивчають студенти статистику ймовірностей, чи аналітики даних проводять оцінку ризиків, цей інструмент може надати точні та ефективні послуги з обчислення.
Що обчислює
The expectation and variance calculator finds the expected value, variance, and standard deviation of a discrete random variable.
Формула
- E(X) = sum(x_i * p_i)
- Var(X) = sum((x_i - E(X))^2 * p_i)
- SD(X) = sqrt(Var(X))
Вхідні дані
- Possible values x_i.
- Probability p_i for each value.
- The probabilities should usually sum to 1.
Приклад
| Value | Probability | Contribution |
|---|---|---|
| 0 | 0.5 | 0 * 0.5 |
| 10 | 0.5 | 10 * 0.5 |
| Expected value | - | 5 |
Як тлумачити результат
Expected value is the long-run average. Variance measures spread around the expected value, and standard deviation uses the same unit as the original variable.
Поширені помилки
- Probabilities should not drift away from a total of 1.
- The expected value does not have to be an actually possible value.
- Variance is measured in squared units.
Як користуватися
Використовувати калькулятор очікуваної дисперсії дуже просто. Просто введіть значення випадкової величини та відповідну ймовірність.
**Основні кроки:** 1. Виберіть тип випадкової величини (дискретний або неперервний) 2. Введіть значення xᵢ випадкової величини 3. Введіть відповідну ймовірність pᵢ (дискретний тип) або щільність ймовірності (безперервний тип) 4. Натисніть кнопку «Обчислити», щоб переглянути результати
**Приклад 1:** Очікування та дисперсія кидка кубика. X приймає значення 1,2,3,4,5,6, а ймовірність дорівнює 1/6. Очікуйте E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. E(X²) = (1+4+9+16+25+36)/6 = 15,167. VarianceVar(X) = 15,167 - 3,5² = 2,917. Стандартне відхилення σ ≈ 1,708.
**Приклад 2:** Очікування та дисперсія прибутку від інвестицій. Інвестиція A: ймовірність прибутку 10% становить 0,5, а ймовірність прибутку -5% становить 0,5. Очікуване E(X) = 10%×0,5 + (-5%)×0,5 = 2,5%. Дисперсія Var(X) = [10%²×0,5 + (-5%)²×0,5] - 2,5%² = 0,005625, стандартне відхилення σ = 7,5%.
**Приклад 3:** Аналіз результатів іспиту. Результати певного класу: 10 учнів набрали 60 балів, 20 учнів набрали 70 балів, 30 учнів набрали 80 балів, 20 учнів набрали 90 балів, 20 учнів набрали 100 балів. Загальна кількість людей: 100. Очікуване E(X) = (60×10 + 70×20 + 80×30 + 90×20 + 100×20)/100 = 81 бал. Обчисліть дисперсію та стандартне відхилення для оцінки дисперсії оцінок.
Калькулятор відображатиме такі статистичні дані, як очікування, дисперсія, стандартне відхилення, коефіцієнт варіації тощо, і надаватиме детальні кроки розрахунку.
Основні функції
• Дискретні випадкові змінні: обчисліть сподівання та дисперсію дискретного розподілу • Безперервні випадкові змінні: обчисліть сподівання та дисперсію безперервного розподілу • Різні статистичні дані: очікування, дисперсія, стандартне відхилення, коефіцієнт варіації • Етапи розрахунку: показати детальний процес розрахунку • Перевірка ймовірностей: автоматично перевіряє, чи дорівнює сума ймовірностей 1 • Загальні розподіли: забезпечує швидке обчислення біноміального розподілу, розподілу Пуассона тощо. • Імпорт даних: підтримує імпорт даних із Excel та CSV • Відображення діаграми: графік розподілу ймовірностей і очікуваного положення • Статистична значущість: поясніть, що насправді означають очікування та відхилення • Повністю безкоштовно: реєстрація не потрібна, користуйтеся будь-коли
Сценарії використання
• Інвестиційні рішення: розрахуйте очікуваний прибуток і ризик інвестиційного портфеля • Контроль якості: аналіз стабільності якості продукції • Аналіз тесту: Оцінка середнього значення та дисперсії результатів тесту • Актуарій: розрахунок очікуваних вимог і резервів ризиків • Управління проектом: оцінка тривалості проекту та невизначеності вартості • Аналіз даних: опишіть центральну тенденцію та дисперсію даних • Навчання ймовірності та статистиці: студенти вивчають поняття очікування та дисперсії • Оцінка ризику: кількісна оцінка величини ризику • Аналіз рішень: порівняння очікуваної корисності різних варіантів • Наукові дослідження: аналіз статистичних характеристик експериментальних даних