Про цей калькулятор
Як розрахувати ймовірність того, що рідкісна подія відбудеться у фіксований час або простір? Розподіл Пуассона є одним із найважливіших дискретних розподілів ймовірностей у теорії ймовірностей, який спеціально використовується для опису розподілу ймовірностей кількості випадкових подій, що відбуваються в одиницю часу (або простору). Функція маси ймовірності розподілу Пуассона дорівнює P(X=k) = (λᵏ × e⁻λ) / k!, де λ — середня частота появи, а k — кількість випадків появи подій.
Розподіл Пуассона має три важливі характеристики: ① події відбуваються незалежно; ② середня частота виникнення подій постійна; ③ дві події не відбудуться одночасно. Коли ці умови виконуються, кількість подій відповідає розподілу Пуассона. Математичне сподівання та дисперсія розподілу Пуассона дорівнюють λ.
У реальному житті розподіл Пуассона використовується надзвичайно широко. Кількість відвідувань веб-сайту за годину, кількість дзвінків на телефонну станцію за хвилину, кількість пацієнтів, що потрапили до відділення невідкладної допомоги лікарні за день, кількість радіоактивних розпадів, кількість друкарських помилок у книгах, кількість дорожньо-транспортних пригод тощо можна змоделювати за допомогою розподілу Пуассона.
Наш калькулятор розподілу Пуассона може швидко обчислити ймовірність P (X=k), кумулятивну ймовірність P (X≤k), очікування, дисперсію та інші статистичні дані для заданих значень параметра λ і k. Також надаються діаграми розподілу ймовірностей, щоб допомогти вам інтуїтивно зрозуміти характеристики розподілу Пуассона. Незалежно від того, чи вивчають студенти статистику ймовірностей, чи аналітики даних займаються моделюванням, цей інструмент може надати точні й ефективні послуги з обчислення.
Що обчислює
The Poisson distribution calculator finds the probability that an event occurs k times in a fixed interval when the average rate is known.
Формула
P(X = k) = e^-lambda * lambda^k / k!, where lambda is the average number of events and k is the target count.
Вхідні дані
- lambda: the average number of events in the interval.
- k: the number of events to evaluate.
Приклад
| lambda | k | Question |
|---|---|---|
| 3 | 0 | Probability of no events when the average is 3 |
| 3 | 3 | Probability of exactly the average count |
| 5 | 8 | Probability of a higher-than-average count |
Як тлумачити результат
The result is the probability of exactly k events. As lambda increases, the distribution shifts right. Counts far from lambda usually have lower probability.
Поширені помилки
- lambda must be greater than 0.
- k must be a nonnegative integer.
- Poisson distribution assumes independent events and a stable average rate.
Як користуватися
Користуватися калькулятором розподілу Пуассона дуже просто. Спочатку визначте середню частоту появи λ і кількість подій k, які потрібно підрахувати.
**Основні кроки:** 1. Введіть середню частоту появи λ (середню кількість подій в одиницю часу або простору) 2. Введіть кількість подій k (щоб обчислити ймовірність появи k разів) 3. Виберіть тип обчислення (ймовірність однієї точки, кумулятивна ймовірність або інтервальна ймовірність) 4. Натисніть кнопку «Обчислити», щоб переглянути результати
**Приклад 1:** Веб-сайт має в середньому 3 відвідування на годину (λ=3). Знайти ймовірність мати рівно 5 візитів. P(X=5) = (3⁵ × e⁻³) / 5! = (243 × 0,0498) / 120 ≈ 0,1008, приблизно 10,08%.
**Приклад 2:** Швидка допомога лікарні приймає в середньому 4 пацієнтів щодня (λ=4). Знайти ймовірність прийому не більше 2 пацієнтів в певний день. P(X≤2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = e⁻⁴ + 4e⁻4 + 8e⁻⁴ = 13e⁻⁴ ≈ 0,2381, приблизно 23,81%.
**Приклад 3:** Певна книга має в середньому 0,5 друкарських помилок на сторінку (λ=0,5). Знайти ймовірність того, що на певній сторінці є 3 або більше помилок. P(X≥3) = 1 - P(X≤2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)] ≈ 1 - 0,9856 = 0,0144, приблизно 1,44%.
Калькулятор автоматично розрахує статистичні дані, такі як значення ймовірності, очікування, дисперсія, стандартне відхилення тощо, і намалює графік розподілу ймовірностей.
Основні функції
• Імовірність однієї точки: обчисліть P(X=k), ймовірність того, що подія відбудеться рівно k разів • Кумулятивна ймовірність: обчисліть P(X≤k) або P(X≥k), кумулятивну функцію розподілу • Імовірність інтервалу: обчисліть P(a≤X≤b), ймовірність того, що кількість подій знаходиться в межах інтервалу. • Статистика: автоматично обчислює очікування, дисперсію та стандартне відхилення • Діаграми ймовірностей: побудуйте функції маси ймовірності та кумулятивні функції розподілу • Регулювання параметрів: підтримує коригування значення λ у реальному часі та спостереження за змінами розподілу • Високоточний розрахунок: точно розрахувати ймовірність великих значень λ і великих значень k • Відображення формули: відображає формулу ймовірності розподілу Пуассона • Приклади застосування: надає приклади моделювання проблем реального світу • Повністю безкоштовно: реєстрація не потрібна, користуйтеся будь-коли
Сценарії використання
• Аналіз веб-сайту: прогнозуйте розподіл ймовірностей відвідувань веб-сайту • Колл-центр: аналізуйте кількість телефонних дзвінків і оптимізуйте персонал • Медичний менеджмент: прогнозувати кількість екстрених пацієнтів і раціонально розподіляти ресурси • Контроль якості: аналіз кількості дефектів продукції та оцінка якості продукції • Планування дорожнього руху: прогнозувати кількість дорожньо-транспортних пригод • Актуарний: обчисліть ймовірність кількості позовів • Дослідження радіоактивності: аналіз кількості радіоактивних розпадів • Біологія: Вивчення кількості бактеріальних колоній і генетичних мутацій • Вивчення ймовірнісної статистики: студенти вивчають теорію розподілу Пуассона • Моделювання даних: створюйте ймовірнісні моделі для рідкісних подій