حول هذه الحاسبة
المعادلة التربيعية هي معادلة تربيعية متعددة الحدود بالصيغة ax² + bx + c = 0 (حيث a ≠ 0). صيغة الجذر x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a) تعطي الحل دائمًا.
يحدد المميز (Δ = b²−4ac) خصائص الجذور: عندما يكون Δ > 0 يكون هناك جذرين حقيقيين مختلفين؛ عندما يكون Δ = 0 يوجد جذر حقيقي واحد متكرر؛ عندما يكون Δ <0 يكون الجذر رقمًا مركبًا (وهميًا).
تظهر المعادلات التربيعية في حركة المقذوفات، وتعظيم الربح، وهندسة الجسور، وبصريات العدسات، والعديد من مجالات الفيزياء والاقتصاد. يعرض لك برنامج الحل الخاص بنا كل خطوة لمساعدتك على فهم الحل وإتقانه.
ما الذي يحسبه
The quadratic equation calculator solves ax^2 + bx + c = 0 for real or complex roots and identifies how many solutions exist.
الصيغة
x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a). The discriminant D = b^2 - 4ac determines the root type.
المدخلات
- Quadratic coefficient a, where a cannot be 0.
- Linear coefficient b.
- Constant term c.
مثال
| Equation | Discriminant | Result |
|---|---|---|
| x^2 - 5x + 6 = 0 | 1 | x = 2, 3 |
| x^2 + 2x + 1 = 0 | 0 | x = -1 |
| x^2 + 1 = 0 | -4 | x = ±i |
كيفية تفسير النتيجة
D > 0 gives two distinct real roots, D = 0 gives one repeated root, and D < 0 gives a complex conjugate pair.
أخطاء شائعة
- a cannot be 0.
- Watch the -b and 2a parts of the formula.
- A negative discriminant has no real roots.
طريقة الاستخدام
يعد استخدام حاسبة المعادلات التربيعية أمرًا سهلاً للغاية. أولاً، قم بتنظيم المعادلة في الصورة القياسية ax²+bx+c=0، وحدد قيم المعاملات a وb وc. لاحظ أن a لا يمكن أن يكون 0 (وإلا فهي ليست معادلة تربيعية). ثم أدخل قيم a وb وc في مربعات الإدخال المقابلة، والتي يمكن أن تكون موجبة أو سالبة أو صفرًا.
على سبيل المثال، لحل المعادلة x²-5x+6=0، أدخل a=1 وb=-5 وc=6. بعد النقر على "حل"، سيعرض النظام: المميز Δ=(-5)²-4×1×6=25-24=1>0، المعادلة لها جذرين حقيقيين غير متساويين. x₁=[5+√1]/(2×1)=3, x₂=[5-√1]/(2×1)=2. التحقق: 3²-5×3+6=0، 2²-5×2+6=0، صحيح.
إذا كانت المعادلة لها جذور معقدة، مثل x²+2x+5=0، أدخل a=1، b=2، c=5. المميز Δ=4-20=-16<0، للمعادلة جذوران مركبتان مترافقتان: x₁=(-2+4i)/2=-1+2i, x₂=(-2-4i)/2=-1-2i. تعرض الآلة الحاسبة أيضًا صورة القطع المكافئ لمساعدتك على فهم الأهمية الهندسية للجذور.
الميزات الرئيسية
تحتوي حاسبة المعادلات التربيعية هذه على وظائف شاملة ومهنية. تُستخدم صيغ البحث الجذرية القياسية لضمان نتائج حسابية دقيقة. يدعم حساب الجذور الحقيقية والجذور المعقدة، ويحدد نوع الجذر تلقائيًا (جذران حقيقيان غير متساويان، وجذور متعددة، وجذور معقدة مترافقة). توفير حساب وتحليل المميز Δ للمساعدة في فهم خصائص الجذور.
يتم عرض خطوات الحل التفصيلية، بما في ذلك حساب التمييز، واستبدال صيغة الجذر، وعملية التبسيط. انها مناسبة للتعلم والاستخدام. يدعم طرق حل متعددة: طريقة صيغة الجذر، طريقة الجمع، طريقة التحليل (عندما تكون قابلة للتحليل). يوفر وظيفة التحقق من الجذر، واستبدال الجذور التي تم الحصول عليها في المعادلة الأصلية للتحقق.
ارسم صورة القطع المكافئ y=ax²+bx+c، وحدد الرأس ومحور التماثل والتقاطع مع المحور الإحداثي لتوضيح الأهمية الهندسية لجذور المعادلة بشكل مرئي. يدعم المعادلات التي معاملاتها هي الكسور والكسور العشرية والأرقام السالبة. الواجهة واضحة، والإدخال بسيط، ويتم عرض النتائج في الوقت الفعلي. مجاني بالكامل ومناسب لجميع الأجهزة.
حالات الاستخدام
حاسبة المعادلات التربيعية مفيدة جدًا في سيناريوهات متعددة. في تعلم الرياضيات، يستخدم الطلاب الآلات الحاسبة للتحقق من إجابات الواجبات المنزلية والتحقق من صحة الحسابات اليدوية. فهم تطبيق صيغة الجذر ومعنى المميز من خلال مراجعة الخطوات التفصيلية. في الرياضيات لامتحان القبول بالمدرسة الثانوية وامتحان القبول بالجامعة، تعتبر المعادلات التربيعية مادة إلزامية.
في الفيزياء، تتضمن العديد من المسائل معادلات تربيعية. على سبيل المثال، معادلة مسار حركة المقذوفات هي h=-gt²/2+v₀t+h₀. للعثور على وقت هبوط الجسم، عليك حل المعادلة التربيعية. صيغة الإزاحة s=v₀t+at²/2 للحركة الخطية المنتظمة هي أيضًا معادلة تربيعية. تُستخدم المعادلات التربيعية أيضًا بشكل شائع في تحليل الدوائر ومشاكل الاهتزاز وما إلى ذلك.
في التصميم الهندسي، غالبًا ما يتم تحويل مشاكل التحسين إلى معادلات تربيعية. على سبيل المثال، إيجاد الحل الأمثل لتعظيم الأرباح وتقليل التكاليف. حساب الهياكل القوسية والأشكال المكافئة في التصميم المعماري. تُستخدم المعادلات التربيعية أيضًا في توازن العرض والطلب وتحليل التكلفة والعائد في الاقتصاد.
في الحياة اليومية، قد تتضمن مسائل مثل حساب المساحة والمسافة معادلات تربيعية. على سبيل المثال، بمعلومية محيط المستطيل ومساحته، أوجد الطول والعرض. حساب عوائد الاستثمار، وسداد القروض والمسائل المالية الأخرى. حساب المسارات المكافئة واكتشاف الاصطدام وما إلى ذلك في تطوير اللعبة.